已知:平面α∩平面β=直線a.
α,β同垂直于平面γ,又同平行于直線b.
求證:(Ⅰ)a⊥γ;
(Ⅱ)b⊥γ.
證法一(Ⅰ)設α∩γ=AB,β∩γ=AC.在γ內任取一點P并于γ內作直線PM⊥AB,PN⊥AC. ——1分
∵ γ⊥α,
∴ PM⊥α.
而 aα,
∴ PM⊥a.
同理PN⊥a. ——4分
又 PMγ,PNγ,
∴ a⊥γ. ——6分
(Ⅱ)于a上任取點Q,過b與Q作一平面交α于直線a1,交β于直線a2. ——7分
∵ b∥α,∴ b∥a1.
同理b∥a2. ——8分
∵ a1,a2同過Q且平行于b,
∵ a1,a2重合.
又 a1α,a2β,
∴ a1,a2都是α、β的交線,即都重合于a. ——10分
∵ b∥a1,∴ b∥a.
而a⊥γ,
∴ b⊥γ. ——12分
注:在第Ⅱ部分未證明b∥a而直接斷定b⊥γ的,該部分不給分.
證法二(Ⅰ)在a上任取一點P,過P作直線a′⊥γ. ——1分
∵ α⊥γ,P∈α,
∴ a′α.
同理a′β. ——3分
可見a′是α,β的交線.
因而a′重合于a. ——5分
又 a′⊥γ,
∴ a⊥γ. ——6分
(Ⅱ)于α內任取不在a上的一點,過b和該點作平面與α交于直線c.同法過b作平面與β交于直線d. ——7分
∵ b∥α,b∥β.
∴ b∥c,b∥d. ——8分
又 cβ,dβ,可見c與d不重合.因而c∥d.
于是c∥β. ——9分
∵ c∥β,cα,α∩β=a,
∴ c∥a. ——10分
∵ b∥c,a∥c,b與a不重合(bα,aα),
∴ b∥a. ——11分
而 a⊥γ,
∴ b⊥γ. ——12分
注:在第Ⅱ部分未證明b∥a而直接斷定b⊥γ的,該部分不給分.
科目:高中數學 來源: 題型:
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科目:高中數學 來源:數學教研室 題型:047
已知:平面α∥平面β,AB,CD是夾在這兩個平面之間的線段,且AE=EB,CG=GD,,如圖所示.
求證:EG∥平面α,EG∥平面β.
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科目:高中數學 來源:期末題 題型:單選題
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