已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,如圖,B是右頂點,F(xiàn)是右焦點,點A在x軸正半軸上,且滿足:|
OA
|,|
OB
|,|
OF
|
成等比數(shù)列,過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l,垂足為P
(1)求證:
PA
OP
=
PA
FP

(2)若l與雙曲線C的左右兩支分別相交于點E、D,求雙曲線離心率e的取值范圍.
分析:(1)通過雙曲線方程求出漸近線方程,得到直線的斜率,求出P的坐標(biāo),利用等差數(shù)列推出
PA
OP
=
PA
FP

(2)利用l與雙曲線C的左右兩支分別相交于點E、D,聯(lián)立方程組,通過兩點的橫坐標(biāo)的乘積小于0,推出雙曲線離心率e的取值范圍.
解答:解:(1)證明:雙曲線的漸近線為 y=±
b
a
x,F(xiàn)(c,0)
,
∵過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l,
∴直線l的斜率為:-
a
b
,∴直線l:y=-
a
b
(x-c)
,
y=-
a
b
(x-c)
y=
b
a
x
,可得P(
a2
c
ab
c
),
|
OA
|,|
OB
|,|
OF
|
成等比數(shù)列,
所以xA•c=b2xA=
b2
c
,A(
a2
c
,0)
,
PA
=(0,-
ab
c
),
OP
=(
a2
c
ab
c
),
FP
=(-
b2
c
,
ab
c
)
,
所以
PA
OP
=-
a2b2
c2
,
PA
FP
=-
a2b2
c2
,
PA
OP
=
PA
FP

(2)解:
y=-
a
b
(x-c)
b2x2-a2y2=a2b2

(b2-
a4
b2
)x2+2
a4
b2
x-(
a4c2
b2
+a2b2)=0
,
∵x1x2<0,∴
-(
a4c2
b2
+a2b2)
b2-
a4
b2
<0

∴b2>a2,則c2>2a2
∴e2>2,
e>
2
點評:本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•許昌三模)已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是
2
,
3
2
,
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•寧波模擬)已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:寧波模擬 題型:單選題

已知雙曲線
x2
a
-
y2
a2+a+1
=1
的離心率的范圍是數(shù)集M,設(shè)p:“k∈M”; q:“函數(shù)f(x)=
lg
x-1
x-2
  x<1
2x-k       x≥1
的值域為R”.則P是Q成立的( 。
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線c:
x2
a
-
y2
b
=1(a>.,b>0)的半焦距為c,過左焦點且斜率為1的直線與雙曲線C的左、右支各有一個交點,若拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長大于
2
2
3
be2.(e為雙曲線c的離心率),則e的取值范同是______.

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