(2013•湛江一模)已知函數(shù)f(x)=ex-1,g(x)=
x
+x
,其中e是自然對數(shù)的底,e=2.71828….
(1)證明:函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點;
(2)求方程f(x)=g(x)根的個數(shù),并說明理由;
(3)若數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a1=a(a>0)(a為常數(shù)),an+13=g(an),證明:存在常數(shù)M,使得對于任意n∈N*,都有an≤M.
分析:(1)直接利用零點存在定理證明函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點即可;
(2)通過方程f(x)=g(x)構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-1-
x
-x
,利用函數(shù)的導數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理說明方程根的個數(shù);
(3)直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟,證明存在常數(shù)M=max{x0,a},使得對于任意的n∈N*,都有an≤M.
解答:解:(1)證明:由h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-
x
-x
,得:
h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2-
2
>0,
所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點.
(2)由(1)得:h(x)=ex-1-
x
-x
,
g(x)=
x
+x
知,x∈[0,+∞),而h(0)=0,則x=0為h(x)的一個零點,且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點,
因此h(x)至少有兩個零點.
所以h′(x)=ex-
1
2
x-
1
2
-1,記φ(x)=ex-
1
2
x-
1
2
-1,則φ′(x)=ex+
1
4
x-
3
2

當x∈(0,+∞)時,φ'(x)>0,因此φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則φ(x)在(0,+∞)內(nèi)至多只有一個零點.h(x)有且只有兩個零點.
所以,方程f(x)=g(x)根的個數(shù)為2.
(3)記h(x)的正零點為x0,即ex0-1=x0+
x0

(1)當a<x0時,由a1=a,即a1<x0.而a23=a1+
a1
x0+
x0
=ex0-1,因此a2<x0,由此猜測:an<x0.下面用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,a1<x0顯然成立;
②假設當n=k(k≥1)時,有ak<x0成立,則當n=k+1時,由ak+13=ak+
ak
x0+
x0
=ex0-1知,ak+1<x0,因此,當n=k+1時,ak+1<x0成立.
故對任意的n∈N*,an<x0成立.
(2)當a≥x0時,由(1)知,h(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.則h(a)≥h(x0)=0,即a3≥a+
a
.從而a23=a1+
a1
=a+
a
a3
,即a2≤a,由此猜測:an≤a.下面用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,a1≤a顯然成立;
②假設當n=k(k≥1)時,有ak≤a成立,則當n=k+1時,由ak+13=ak+
ak
≤a+
a
a3
知,ak+1≤a,因此,當n=k+1時,ak+1≤a成立.
故對任意的n∈N*,an≤a成立.
綜上所述,存在常數(shù)M=max{x0,a},使得對于任意的n∈N*,都有an≤M.
點評:本題考查函數(shù)的零點存在定理的應用,數(shù)學歸納法的證明方法以及函數(shù)的導數(shù)的應用,考查分析問題解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•湛江一模)在△ABC中,∠A=
π
3
,AB=2,且△ABC的面積為
3
2
,則邊AC的長為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•湛江一模)如圖圓上的劣弧
CBD
所對的弦長CD=
3
,弦AB是線段CD的垂直平分線,AB=2,則線段AC的長度為
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•湛江一模)點P是圓x2+y2+2x-3=0上任意一點,則點P在第一象限的概率為
1
6
-
3
1
6
-
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•湛江一模)下列四個論述:
(1)線性回歸方程y=bx+a必過點(
.
x
,
.
y

(2)已知命題p:“?x∈R,x2≥0“,則命題¬p是“?x0∈R,
x
2
0
<0“
(3)函數(shù)f(x)=
x2(x≥1)
x(x<1)
在實數(shù)R上是增函數(shù);
(4)函數(shù)f(x)=sinx+
4
sinx
的最小值是4
其中,正確的是
(1)(2)(3)
(1)(2)(3)
(把所有正確的序號都填上).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案