【題目】四邊形為某橢圓的內接矩形的充要條件是：它的四個頂點是橢圓的同心圓與它的四個交點.

【答案】見解析

【解析】

充分性：設、、、為橢圓與它的某個同心圓的交點，為橢圓的長軸. 因為過圓心，所以，是圓的對稱軸. 于是，整個圖形關于對稱成軸對稱. 故四邊形的一組對邊與垂直. 同理可證，四邊形的另一組對邊與橢圓的短軸垂直. 因此，四邊形是矩形.

必要性：設四邊形是橢圓的內接矩形. 先證明四邊形的邊與橢圓的對稱軸平行.

實際上，作矩形的對稱軸交橢圓于點、. 將橢圓沿翻轉得到橢圓，則與有6個不同的交點、、、、、. 所以，與重合，即是橢圓的對稱軸. 因為矩形的一組對邊與平行，所以，四邊形的一組對邊與橢圓的對稱軸平行. 不妨設與橢圓的長軸平行. 由于橢圓關于其短軸對稱，所以，. 由充分性的證明可知，以為半徑的橢圓的同心圓與橢圓交成一個矩形，此矩形以為一條邊. 但過點且與垂直的直線是唯一的，從而，以為一邊的橢圓的內接矩形也是唯一的.

故、、、是橢圓的同心圓與橢圓的交點.

練習冊系列答案
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質量指標值分組

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)

頻數(shù)

6

26

38

22

8

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（II）估計這種產品質量指標值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（III）根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的80%”的規(guī)定？

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