【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè),對(duì)任意恒有,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù)得到斜率,利用點(diǎn)斜式得到切線方程;
(Ⅱ)求出函數(shù)的極值,再探討函數(shù)在區(qū)間 (m,m)(其中a>0)上存在極值,尋找關(guān)于m的不等式,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)先求導(dǎo),再構(gòu)造函數(shù)h(x)=lnx,求出h(x)的最大值小于0即可.
解:(I).
故切線的斜率為,又f(e)=
∴切線方程為:,即
(II).當(dāng)時(shí),
當(dāng)x>l時(shí),
f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1.+)上單調(diào)遞減。
故f(x)在x=l處取得極大值。
∵f(x)在區(qū)間(m,m+)(m>0)上存在極值,
∴0<m<1且m+>1,解得
(Ⅲ).由題可知.a≠0,且
,
,
當(dāng)a<0時(shí),g(x)>0.不合題意。
當(dāng)a>0時(shí),由可得恒成立
設(shè),則
求導(dǎo)得:
設(shè)
①當(dāng)0<a≤l時(shí),△≤0,此時(shí):
∴h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,又h(l)=0,所以h(x)<h(l)=0.
所以0<a≤l符合條件.
②當(dāng)a>1時(shí),△>0,注意到t(0)=1,t(1)=4(1-a)<0,存在xo(0,1),使得t(x0)=0,
于是對(duì)任意,t(x)<0,h’(x)<0.則h(x)在(xo,1)內(nèi)單調(diào)遞減,又h(l)=0,所以當(dāng)時(shí),h(x)>0,不合要求,
綜合①②可得0<a≤1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù),對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有成立,且當(dāng)時(shí),都有成立,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在三棱柱中,、分別是、的中點(diǎn).
(1)設(shè)棱的中點(diǎn)為,證明:平面;
(2)若,,,且平面平面,求三棱柱的高.
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【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,,,,將 沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.
(1)求證:平面;
(2)求二面角D-AB-C的正弦值.
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【題目】在所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下列四個(gè)命題:
(1)平面PDF;(2)平面;
(3)平面平面;(4)平面平面.
其中正確命題的序號(hào)為________.
A.(2)(3)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)
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【題目】某家具公司生產(chǎn)甲、乙兩種書柜,制柜需先制白胚再油漆,每種柜的制造白胚工時(shí)數(shù)、油漆工時(shí)數(shù)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下:
工藝要求 | 產(chǎn)品甲 | 產(chǎn)品乙 | 生產(chǎn)能力(工時(shí)/天) |
制白胚工時(shí)數(shù) | 6 | 12 | 120 |
油漆工時(shí)數(shù) | 8 | 4 | 64 |
單位利潤(rùn) | 20元 | 24元 |
則該公司合理安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),每天可獲得的最大利潤(rùn)為______.
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【題目】已知A、B為橢圓()和雙曲線的公共頂點(diǎn),P、Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn),且(,),設(shè)AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為、、、.
(1)若,求的值(用a、b的代數(shù)式表示);
(2)求證:;
(3)設(shè)、分別為橢圓和雙曲線的右焦點(diǎn),若,求的值.
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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,點(diǎn)在橢圓上,且的周長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上,求的最小值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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