Question

1．若f（x）=ax²+x+$\frac{2}{x}$為奇函數(shù)，則f（x）在（0，+∞）上的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 f（x）=ax²+x+$\frac{2}{x}$為奇函數(shù)，可得f（x）+f（-x）=0，解得a=0．可得f（x）=x+$\frac{2}{x}$，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵f（x）=ax²+x+$\frac{2}{x}$為奇函數(shù)，∴f（x）+f（-x）=0，
∴2ax²=0，x≠0，解得a=0．
∴f（x）=x+$\frac{2}{x}$，
∵f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），${f}^{′}（\sqrt{2}）$=0．
∴x＞$\sqrt{2}$時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；$\sqrt{2}＞$x＞0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴x=$\sqrt{2}$時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．