Question

8．已知f（x）=e^2x，g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$，對?a∈R，?b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），則b-a的最小值為1+$\frac{1}{2}$ln2．

Answer 1

分析 f（x）=e^2x，g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$，得到f^-1（x）=$\frac{1}{2}$lnx，g^-1（x）=${e}^{x-\frac{1}{2}}$，夠造函數(shù)h（x）=h（x）=g^-1（x）-f^-1（x），則b-a的最小值，即為h（x）的最小值，利用導數(shù)法求出函數(shù)的最小值，可得答案．

解答 解：∵f（x）=e^2x，g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$，
∴f^-1（x）=$\frac{1}{2}$lnx，g^-1（x）=${e}^{x-\frac{1}{2}}$，
令h（x）=g^-1（x）-f^-1（x）=${e}^{x-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$lnx，
則b-a的最小值，即為h（x）的最小值，
∵h′（x）=${e}^{x-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2x}$，
令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$
∵當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，h′（x）＜0，當x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，h′（x）＞0，
故當x=$\frac{1}{2}$時，h（x）取最小值1-$\frac{1}{2}$ln$\frac{1}{2}$=1+$\frac{1}{2}$ln2，
故答案為：1+$\frac{1}{2}$ln2

點評 本題考查的知識點是反函數(shù)，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，其中將求b-a的最小值，轉化為h（x）的最小值，是解答的關鍵．