Question

18．如圖，四棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)．
（1）證明MN∥平面PAB
（2）（文）求四面體N-BCM的體積．
（理）求二面角N-AM-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）證線面平行，可找線線平行，也可找面面平行．
（2）文：在梯形ABCD中計(jì)算出△BCM的面積，四面體的高為N到平面BCM的距離，意題意，高為PA的一半，用三棱錐的體積公式求得四面體N-BCM的體積．
理：找出二面角的平面角，解構(gòu)造的直角三角形即可．

解答 解：（1）解法一：
由已知得AM=$\frac{2}{3}$AD=2，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，
由N為PC 的中點(diǎn)，
知TN∥BC，TN=$\frac{1}{2}$BC=2    …3分
又AD∥BC，故TN平行且等于AM，
∴四邊形AMNT為平行四邊形，
∴MN∥AT
又∵AT?平面PAB，MN?平面PAB，
∴MN∥平面PAB．…6分
解法二：
取BC的中點(diǎn)E，連接EN，EM，則BE=2
由已知得AM=$\frac{2}{3}$AD=2，
∴AM=BE
∵AD∥BC
∴AM平行且等于BE．
∴四邊形ABEM為平行四邊形，
∴EM∥AB   …①…2分
又N，E分別為PC，BC的中點(diǎn)
∴NE∥PB  …②…3分
由①，②且EM∩NE=E，AB∩PB=B，
∴平面MEN∥平面PBA，…5分
又 MN?平面MEN，
∴MN∥平面PAB．…6分
（2）（文）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，
∴N到平面ABCD的距離為$\frac{1}{2}PA$…（8分）
取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE．由AB=AC=3得AE⊥BC，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
由AM∥BC得M到BC的距離為$\sqrt{5}$，故S_△BCM=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}$=$2\sqrt{5}$．  …10分
∴四面體N-BCM的體積V_N-BCM=$\frac{1}{3}$×${S}_{△BCM}×\frac{1}{2}PA$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$…（12分）
（理）過(guò)點(diǎn)N作AC的垂線交AC于H點(diǎn)，則H為AC中點(diǎn)，
∴NH∥PA
∴NH⊥平面ABCD．
過(guò)H作AD垂線，垂足為K，
三垂線定理知AD⊥HK
則∠NKH為所求，
NH=2，KH=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，所求正切值為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判斷，三棱錐體積求解，二面角的求法．屬于中檔題．