Question

已知集合A={x|x²-6x+8＜0}，B={x|（x-a）•（x-3a）＜0}．
（1）若A?B，求a的取值范圍；
（2）若A∩B=∅，求a的取值范圍；
（3）若A∩B={x|3＜x＜4}，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用,交集及其運(yùn)算

專題：計算題

分析：利用不等式求出集合A，（1）通過A?B，列出不等式組，即可求a的取值范圍；
（2）通過A∩B=∅，利用a的范圍，列出不等式，即可求a的取值范圍；
（3）借助A∩B={x|3＜x＜4}，列出不等式即可求a的取值范圍．

解答： 解：∵A={x|x²-6x+8＜0}，
∴A={x|2＜x＜4}．
（1）當(dāng)a＞0時，B={x|a＜x＜3a}，應(yīng)滿足

a≤2 3a≥4

⇒

4

3

≤a≤2，
當(dāng)a＜0時，B={x|3a＜x＜a}，應(yīng)滿足

3a≤2 a≥4

⇒a∈∅．
∴

4

3

≤a≤2時，A?B．
（2）要滿足A∩B=∅，
當(dāng)a＞0時，B={x|a＜x＜3a}，a≥4或3a≤2，
∴0＜a≤

2

3

或a≥4．
當(dāng)a＜0時，B={x|3a＜x＜a}，a≤2或a≥

4

3

．
∴a＜0時成立．驗(yàn)證知當(dāng)a=0時也成立．
綜上所述，a≤

2

3

或a≥4時，A∩B=∅．
（3）要滿足A∩B={x|3＜x＜4}，顯然a＞0且a=3時成立，
此時B={x|3＜x＜9}，
而A∩B={x|3＜x＜4}，
故所求a的值為3．

點(diǎn)評：本題考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，不等式組的解法，分類討論思想的應(yīng)用，集合的包含關(guān)系以及子集關(guān)系的應(yīng)用．考查計算能力．