Question

已知點Q位于直線x=-3右側(cè)，且到點F（-1，0）與到直線x=-3的距離之和等于4．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線L過點M（1，0）且交曲線C于
A、B兩點（A、B不重合），點P滿足

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)且

EP

•

AB

=0，其中點E的坐標為（x₀，0），試求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出點Q，根據(jù)兩點間的距離公式，依據(jù)題意建立等式求得x和y的關(guān)系式，整理可知點Q的軌跡拋物線的一部分．
（Ⅱ）設(shè)直線L的方程，及A，B的坐標，把直線和拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而建立不等式組，求得k的范圍，進而根據(jù)

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)可知，點P為線段AB的中點，P的坐標可知，由

EP

•

AB

=0可知，EP⊥AB，分別表示出二者的斜率，其乘積為-1求得x₀的關(guān)于k的表達式，根據(jù)k的范圍確定x₀的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點Q（x，y）（x＞-3），
由題意有x+3+

(x+1)2+y2

=4，
整理得y²=-4x，x∈（-3，0]
∴動點Q的軌跡C為以F（-1，0）為焦點，
坐標原點為頂點的拋物線在直線x=-3右側(cè)的部分．

（Ⅱ）由題意可設(shè)直線L的方程為y=k（x-1）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

y=-4x y=k(x-1)

，
得k²x²+（4-2k²）x+k²=0x1+x2=

2k2-4

k2

，x1x2=1，
由題意

(4-2k2)2-4k4＞0 (x1+3)(x2+3)＞0 (x1+3)+(x2+3)＞0

解之得

3

4

＜k2＜1
由

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)可知，點P為線段AB的中點，∴P(

k2-2

k2

，-

2

k

)．
由

EP

•

AB

=0可知，EP⊥AB，∴

2 k

x0- k2-2 k2

•k=-1，
整理得，x0=-

2

k2

-1
∴x₀的取值范圍是(-

11

3

，-3)

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題時應(yīng)充分發(fā)揮判別式和韋達定理在解題中的作用．