Question

4．已知函數(shù)f（x）=xlnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證：當(dāng)a≥1，f（x）≥1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值是f（1），證明結(jié)論即可．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=xlnx，（x＞0），
f′（x）=lnx+1，f′（1）=1，f（1）=0，
故切線方程是：y=x-1；
即x-y-1=0．
（2）證明：f（x）=xlnx+$\frac{a}{x}$，（x＞0），
f′（x）=lnx+1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，f″（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2a}{{x}^{3}}$＞0，
故f′（x）在（0，+∞）遞增，
而f′（1）=1-a≤0，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故 f（x）≥f（1）=a≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．