Question

若?x∈（1，5），使不等式x²-mx+4＞0成立，則m的取值范圍是

（-∞，

29

5

）

．

Answer 1

分析：分離變量可得所以m＜

x2+4

x

，因?yàn)?x∈（1，5），使得m＜

x2+4

x

成立，只需m小于f（x）的最大值，然后構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，可得取值范圍．

解答：解：不等式x²-mx+4＞0可化為mx＜x²+4，因?yàn)?x∈（1，5），所以m＜

x2+4

x

記函數(shù)f（x）=

x2+4

x

=x+

4

x

，x∈（1，5）只需m小于f（x）的最大值，
由f′（x）=1-

4

x2

=0可得x=2，而且當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（2，5）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
故最大值會(huì)小于f（1）或f（5），f（1）=5，f（5）=

29

5

故只需m＜

29

5

．
故答案為：（-∞，

29

5

）

點(diǎn)評(píng)：本題為參數(shù)范圍的求解，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)工具求取值范圍是解決問(wèn)題的工關(guān)鍵，本題要和恒成立區(qū)分，易錯(cuò)求成函數(shù)的最小值．