Question

為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：
，且每處理一噸廢棄物可得價值為萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補貼萬元．
（1）當(dāng)時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；
如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？
（2）當(dāng)處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

Answer 1

(1) 國家最少需要補貼萬元，該工廠才能不會虧損；（2）30. 

試題分析：（1）本題考查函數(shù)應(yīng)用，屬于容易題，解題的關(guān)鍵是列出收益函數(shù)，收益等于收入減成本，因此有利潤，化簡后它是關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的知識求出的取值范圍，如果有非負(fù)的取值，就能說明可能獲利，如果沒有非負(fù)取值，說明不能獲利，而國家最小補貼就是中最大值的絕對值. （2）每噸平均成本等于，由題意，我們根據(jù)基本不等式的知識就可以求出它的最小值以及取最小值時的值. 
試題解析：（1）根據(jù)題意得，利潤和處理量之間的關(guān)系：
                 2分
，.
∵，在上為增函數(shù)，
可求得.                       5分
∴ 國家只需要補貼萬元，該工廠就不會虧損．          7分
（2）設(shè)平均處理成本為                     9分
       11分
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由 得．
因此，當(dāng)處理量為噸時，每噸的處理成本最少為萬元．      14分