Question

11．已知拋物線E：y²=4x焦點為F，準線為l，P為l上任意點．過P作E的兩條切線，切點分別為Q，R．
（1）若P在x軸上，求|QR|；
（2）求證：以PQ為直徑的圓恒過定點．

Answer 1

分析 （1）由P（-1，0），設直線PQ方程，代入拋物線方程，由△=0，求得直線的斜率，代入方程求得切點分別為Q，R坐標，即可求得求|QR|；
（2）由對稱性可知：該點必在x軸上，設M（m，0），設Q（$\frac{1}{4}$${y}_{0}^{2}$，y₀），P（-1，t），則切線為yy₀=2x+$\frac{1}{2}$${y}_{0}^{2}$，求得t=$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$，根據$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，即可求得m的值．

解答 解：（1）由已知可知：拋物線y²=4x焦點為F（1，0），
∴P（-1，0），
設PQ：y=k（x+1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，整理得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，①
由△=0，即（2k²-4）²-4•k²•k²=0，
解得：k=±1，
代入①求得x=1，y=±2，
∴切點分別為Q和R坐標為（1，±2），
∴|QR|=4；
（2）證明：由對稱性可知：該點必在x軸上，設M（m，0），
設Q（$\frac{1}{4}$${y}_{0}^{2}$，y₀），P（-1，t），則切線為yy₀=2x+$\frac{1}{2}$${y}_{0}^{2}$，
∴t=$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$，
由題意可知：$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，即（m-$\frac{1}{4}$${y}_{0}^{2}$）（m+1）+y₀•（$\frac{1}{2}$y₀-$\frac{2}{{y}_{0}}$）=0，
整理得：（m²+m-2）+$\frac{1}{4}$${y}_{0}^{2}$（1-m）=0
∴m=1，
∴恒過點M（1，0）．

點評 本題考查橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，向量數量積的坐標表示，考查計算能力，屬于中檔題．