Question

8．永泰某景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，現(xiàn)對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)，從而擴(kuò)大內(nèi)需，提高旅游增加值，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，旅游增加值y萬(wàn)元與投入x（x≥10）萬(wàn)元之間滿足：y=f（x）=ax²+$\frac{101}{50}$x-bln$\frac{x}{10}$，a，b為常數(shù)．當(dāng)x=10萬(wàn)元時(shí)，y=19.2萬(wàn)元；當(dāng)x=30萬(wàn)元時(shí)，y=50.5萬(wàn)元．（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T（x）的最大值．（利潤(rùn)=旅游增加值-投入）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（10）=19.2，f（30）=50.5，列方程解出a，b即可；
（2）寫(xiě)出T（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出T（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出T（x）的最大值．

解答 解：（1）∵f（10）=19.2，f（30）=50.5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{100a+\frac{101}{5}=19.2}\\{900a+\frac{303}{5}-bln3=50.5}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{1}{100}$，b=1，
則f（x）=-$\frac{x2}{100}$+$\frac{101}{50}$x-ln$\frac{x}{10}$（x≥10）．
（2）T（x）=f（x）-x=-$\frac{x2}{100}$+$\frac{51}{50}$x-ln$\frac{x}{10}$（x≥10），
則T′（x）=$\frac{-x}{50}$+$\frac{51}{50}$-$\frac{1}{x}$=-$\frac{（x-1）（x-50）}{50x}$，
令T′（x）=0，則x=1（舍）或x=50，
當(dāng)x∈（10，50）時(shí)，T′（x）＞0，當(dāng)x∈（50，+∞）時(shí)，T′（x）＜0，
∴T（x）在（10，50）上是增函數(shù)，在（50，+∞）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=50時(shí)，T（x）取最大值T（50）=-25+51-ln5=27.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求解，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．