Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），M是C上任意一點(diǎn)；以前述坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)、Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求直線OA直角坐標(biāo)方程；    
（Ⅱ）求|AM|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），可知直線OA經(jīng)過原點(diǎn)，傾斜角為$\frac{π}{4}$，即可得出方程．
（Ⅱ）點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），利用互化公式化為直角坐標(biāo)，由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程可得圓心為C，半徑r．可得|AM|_min=|AC|-r．

解答 解：（Ⅰ）由點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{y}{x}=tan\frac{π}{4}$，
∴直線OA的方程為：y=x．
（Ⅱ）點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），化為直角坐標(biāo)A（4，4），
由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程：（x-1）²+y²=2，
∴圓心為C（1，0），半徑為$\sqrt{2}$．
由于點(diǎn)A在圓外，且|AC|=5，
∴|AM|_min=5-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．