Question

3．函數(shù)y=ax-lnx在（${\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（　　）

• A． （2，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 首先對y=ax-lnx求導：y'=a-$\frac{1}{x}$；函數(shù)y在$（\frac{1}{2}，+∞）$內(nèi)單調(diào)遞增，即y'在$（\frac{1}{2}，+∞）$上恒有y'≥0．即：a≥$\frac{1}{x}$在$（\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立．

解答 解：首先對y=ax-lnx求導：y'=a-$\frac{1}{x}$，且知y函數(shù)的定義域為（0，+∞）；
函數(shù)y在$（\frac{1}{2}，+∞）$內(nèi)單調(diào)遞增，即y'在$（\frac{1}{2}，+∞）$上恒有y'≥0．
即：a≥$\frac{1}{x}$在$（\frac{1}{2}，+∞）$上恒成立．
因為f（x）=$\frac{1}{x}$在$（\frac{1}{2}，+∞）$上的最大值為f（$\frac{1}{2}$）=2；
所以a的取值范圍為a≥2．
故選：B

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)與恒成立問題，以及轉(zhuǎn)化思想的應用，屬中等題．