Question

14．已知函數(shù)f（cosx）=-f′（$\frac{1}{2}$）cosx+$\sqrt{3}$sin²x，則f（$\frac{1}{2}$）的值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先利用換元法求出函數(shù)的解析式，再求導(dǎo)，代值計(jì)算即可．

解答 解：令t=cosx，t∈[-1，1]，
f（t）=-f′（$\frac{1}{2}$）t+$\sqrt{3}$（1-t²），
∴f′（t）=-f′（$\frac{1}{2}$）-2$\sqrt{3}$t，
令t=$\frac{1}{2}$，
則f′（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+$\sqrt{3}$（1-t²），
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求法和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．