Question

  已知動點P到點A（-2,0）與點B（2,0）的斜率之積為，點P的軌跡為曲線C。

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)若點Q為曲線C上的一點，直線AQ，BQ與直線x=4分別交于M、N兩點，直線BM與橢圓的交點為D。求線段MN長度的最小值。

 

Answer 1

解：（Ⅰ）設，由題意知  ，即

化簡得曲線C方程為：

（Ⅱ）思路一

滿足題意的直線的斜率顯然存在且不為零，設其方程為，

由（Ⅰ）知，所以，設直線方程為，

當時得點坐標為，易求點坐標為

所以=，

當且僅當時，線段MN的長度有最小值.

思路二：滿足題意的直線的斜率顯然存在且不為零，設其方程為，

聯(lián)立方程：

消元得，

設，，

由韋達定理得：，

所以，代入直線方程得，

所以，又

所以直線BQ的斜率為

以下同思路一

思路三：設，則直線AQ方程為

直線BQ的方程為

當，得，即

當，得，即

則

又

所以

利用導數(shù)，或變形為二次函數(shù)求其最小值。