Question

已知函數(shù)，.
證明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且對（1）中的.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）依題意，只需證明函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．往往轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值點(diǎn)，從而判斷函數(shù)大致圖象，進(jìn)而說明零點(diǎn)分布情況．本題當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，再說明端點(diǎn)函數(shù)值異號；（2）與（1）類似，只需證明函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)．但是不易利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)大致圖象，考慮到結(jié)論中，故需考慮第二問與第一問的關(guān)系，利用（1）的結(jié)論，設(shè)，則，，根據(jù)第一問中的符號，從而可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)大致圖象，確定函數(shù)的零點(diǎn)，尋求函數(shù)的零點(diǎn)與零點(diǎn)的關(guān)系，從而證明不等式．
證明：（1）當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)．又．．所以存在唯一，使．
（2）當(dāng)時，化簡得．令．記
．．則．由（1）得，當(dāng)時，；當(dāng)時，．從而在上為增函數(shù)，由知，當(dāng)時，，所以在上無零點(diǎn)．在上為減函數(shù)，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．設(shè)．
．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．
考點(diǎn)：１、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．