Question

【題目】已知向量 =（sinx，﹣1），向量 =（ cosx，﹣ ），函數f（x）=（ + ） ．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，A為銳角，a=2 ，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0， ]上的最大值，求A和b．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（sinx，﹣1），向量 =（ cosx，﹣ ），

∴f（x）=（ + ） =sin2x+1+ sinxcosx+ = +1+ sin2x+ = sin2x﹣ cos2x+2=sin（2x﹣ ）+2，

∵ω=2，

∴函數f（x）的最小正周期T= =π

（2）解：由（1）知：f（x）=sin（2x﹣ ）+2，

∵x∈[0， ]，

∴﹣ ≤2x﹣ ≤ ，

∴當2x﹣ = 時，f（x）取得最大值3，此時x= ，

∴由f（A）=3得：A= ，

由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴12=b2+16﹣4b，即（b﹣2）2=0，

∴b=2．

【解析】（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運法則列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；（2）根據x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數的性質求出f（x）的最大值，以及此時x的值，由f（A）為最大值求出A的度數，利用余弦定理求出b的值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關知識，掌握兩角和與差的正弦公式：，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．