Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且右焦點(diǎn)為F（2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，平行于OA的直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且OA與l的距離等于$\sqrt{13}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）依題意設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）由已知得 c=2，2a=|AF|+|AF′|=8，由此能求出橢圓C的方程．
（2）平行于OA的直線l的方程為y=$\frac{3}{2}$x+t，聯(lián)立直線與橢圓方程，得3x²+3bx+t²-12=0，由此利用根的判別式，結(jié)合OA與l的距離等于$\sqrt{13}$，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）依題意設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）
且可知左焦點(diǎn)為F′（-2，0），
|AF|=$\sqrt{（2-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=3，
|AF′|=$\sqrt{（-2-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=5，
從而有c=2，2a=|AF|+|AF′|=8，
解得a=4，c=2，
又a²=b²+c²，所以b²=12，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）∵k_OA=$\frac{3}{2}$，∴平行于OA的直線l的方程為y=$\frac{3}{2}$x+t，
聯(lián)立直線與橢圓方程，得3x²+3bx+t²-12=0，
∵平行于OA的直線l與橢圓有公共點(diǎn)，∴△=9t²-12（t²-12）≥0，
解得-4$\sqrt{3}$≤t≤4$\sqrt{3}$
∵OA與l的距離等于$\sqrt{13}$，
∴$\frac{|t|}{\sqrt{\frac{9}{4}+1}}$=$\sqrt{13}$，
∴t=±$\frac{13}{2}$∈[-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$]
∴直線l的方程為y=$\frac{3}{2}$x±$\frac{13}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．