【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間(其中)上存在極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)如果當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(Ⅲ)求證.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的極值,在探討函數(shù)在區(qū)間(其中a>0)上存在極值,尋找關(guān)于a的不等式,求出
實(shí)數(shù)a的取值范圍;(Ⅱ)如果當(dāng)x≥1時(shí),不等式恒成立,把k分離出來,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.(Ⅲ)借助于(Ⅱ)的結(jié)論得令,則有,∴,累加,放縮即可證得結(jié)論.
證明不等式.
試題解析:
(Ⅰ),∴時(shí), ,此時(shí)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)單調(diào)遞減.
又,∴在處取得極大值,
∵若使得在區(qū)間上存在極值,其中,∴,
∴.∴的取值范圍為.
(Ⅱ)不等式,
即恒成立,令,∴,
令,∴,∵,∴,∴在上單調(diào)遞增,
∴,∴, 在上也單調(diào)增,
∴,∴.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知: 恒成立,即,令,則有,∴,∴,
;
;
,
疊加得: ,
∴,
∴,
∴,得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(ex﹣1)(x﹣1)k , k∈N* , 若函數(shù)y=f(x)在x=1處取到極小值,則k的最小值為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后,在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中幾錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾 組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示:
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | a |
若根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出y關(guān)于x的線性回歸方程為 =0.7x+0.35,則表中a的值為( )
A.3
B.3.15
C.3.5
D.4.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ﹣ )=﹣1,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2 cos(θ﹣ ).以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù)f(x)是定義在(﹣2,2)上的減函數(shù),則不等式f( )+f(2x﹣1)>0的解集是( )
A.(﹣∞, )
B.[﹣ ,+∞)
C.(﹣6,﹣ )
D.(﹣ , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ax2﹣(a﹣1)x﹣lnx(a∈R且a≠0).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)記函數(shù)y=F(x)的圖象為曲線C.設(shè)點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2)是曲線C上的不同兩點(diǎn).如果在曲線C上存在點(diǎn)M(x0 , y0),使得:①x0= ;②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB,則稱函數(shù)F(x)存在“中值和諧切線”.當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)是否存在“中值和諧切線”,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,2),B(4,6), =t1 +t2 ,其中t1、t2為實(shí)數(shù);
(1)若點(diǎn)M在第二或第三象限,且t1=2,求t2的取值范圍;
(2)求證:當(dāng)t1=1時(shí),不論t2為何值,A、B、M三點(diǎn)共線;
(3)若t1=a2 , ⊥ ,且△ABM的面積為12,求a和t2的值.
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【題目】在下列各函數(shù)中,最小值等于2的函數(shù)是( )
A.y=x+
B.y=cosx+ (0<x< )
C.y=
D.y=
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【題目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=CC1=2,則異面直線AB1和BC1所成角的余弦值為( )
A.0
B.
C.﹣
D.
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