【題目】已知函數
（
，
）
（1）討論
的單調性；
（2）若對任意，恰有一個零點，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
（1）討論
的范圍，得出
的解的情況，從而得出
的單調區(qū)間；
（2）分離參數可得
，令
，求出
的單調性和值域，從而可得出
的范圍．
解法一：（1）依題意，
，
令
，
，
①當
時，
，
，
在
單調遞增；
②當
時，
，由得，
，
因為，所
，設
，
，
則當
時，
，所以在
單調遞增；
當
時，
，所以在
單調遞減；
當
時，，所以在
單調遞增；
綜上，當時，在單調遞增；
②當時，在
單調遞增，
在
單調遞減，在
單調遞增.
（2）由
得，，記，則
，
（i）當時，由（1）知，在單調遞增，
所以
在單調遞增，又因為，
當
時，
，
時
，
所以當
時，對任意恰有一個零點.
（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，
在單調遞增，其中，，
所以，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，
，所以
，
所以極大
極小
，
又因為當時，，時，
所以對任意，恰有一個零點，等價于
恒成立或
恒成立.
設
，則
，
當
時，
，所以
在
單調遞增，
當
時，
，所以在
單調遞減，
又
，
，
因為，所以
，所以
，
，
所以
的值域為
，
的值域為
，
即
的值域為，
的值域為，
所以
，所以
，
綜上，的取值范圍為.
解法二：（1）同解法一；
（2）（i）當時，由（1）知，在單調遞增，
又因為
，
所以取
，則
，取
，則
，
所以
，所以在恰有一個零點，所以；
（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，
在單調遞增，其中，，
，所以，
所以極大
，
極小
，
設
，則
，
當
時，
，所以在單調遞增，+
當時，
，所以在單調遞減，
又，，
因為，所以，所以，，
①當時，
，
，
即
，
，所以當
時，
，
在
不存在零點，
當時，取
，則
，
又因為，所以在恰有一個零點，所以恰有一個零點；.
②當
時，因為
，當
時，
，
所以
，所以在恰有一個零點
，
當
時，
，
所以
，所以在恰有一個零點
，
即
，則
，
則
，
所以在單調遞減，所以
，
所以
，即
，
因為，
，且在單調遞減，
所以
，即
，所以
，
所以
，因為，
，
，
所以存在
，滿足
，所以
，
，
所以
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四邊形
中，
，
，四邊形
為矩形，且
平面，
.
（1）求證：
平面
；
（2）點
在線段
上運動，當點在什么位置時，平面
與平面
所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
經過點
，右焦點到直線
的距離為3．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）過點A作兩條互相垂直的直線
，
分別交橢圓于M，N兩點，求證：直線MN恒過定點
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）直線l的參數方程為
，（t為參數），直線l與x軸交于點F，與曲線C的交點為A，B，當
取最小值時，求直線l的直角坐標方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在邊長為2的菱形
中，
，將
沿對角線
折起到
的位置，使平面
平面
，
是的中點，
⊥平面，且
，如圖2．
（1）求證：
平面
；
（2）求平面與平面
所成角的余弦值；
（3）在線段
上是否存在一點
，使得
⊥平面
？若存在，求
的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4—5: 不等式選講
已知函數f(x)＝
的定義域為R.
(Ⅰ)求實數m的取值范圍；
(Ⅱ)若m的最大值為n，當正數a，b滿足
＝n時，求7a＋4b的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）當
時，若函數
在
，
（
）處導數相等，證明：
；
（2）是否存在
，使直線
是曲線
的切線，也是曲線
的切線，而且這樣的直線是唯一的，如果存在，求出直線方程，如果不存在，請說明理由．
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