【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題可知值，由右焦點(diǎn)到直線的距離為3表示，和 構(gòu)建方程組，求得，即可求得橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，由，垂直，則將M坐標(biāo)中的k換成，即可表示N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)坐標(biāo)分別表示與，觀察即可證明.

（1）由題意知，，，，

解得，，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）顯然直線，的斜率存在．

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

解得，，

所以，．

由，垂直，可得直線的方程為．

用替換前式中的k，可得，．

則，

，

所以，故直線MN恒過定點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某大型工廠有6臺(tái)大型機(jī)器，在1個(gè)月中，1臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為.已知1名工人每月只有維修2臺(tái)機(jī)器的能力（若有2臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障，工廠只有1名維修工人，則該工人只能逐臺(tái)維修，對(duì)工廠的正常運(yùn)行沒有任何影響），每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)得到維修，就能使該廠獲得10萬元的利潤(rùn)，否則將虧損2萬元.該工廠每月需支付給每名維修工人1萬元的工資.

（1）若每臺(tái)機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)，有工人進(jìn)行維修（例如：3臺(tái)大型機(jī)器出現(xiàn)故障，則至少需要2名維修工人），則稱工廠能正常運(yùn)行.若該廠只有1名維修工人，求工廠每月能正常運(yùn)行的概率；

（2）已知該廠現(xiàn)有2名維修工人.

（ⅰ）記該廠每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘1名維修工人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在五面體ABCDPN中，棱PA⊥面ABCD，AB=AP=2PN，底面ABCD是菱形，∠BAD= ．

（1）求證：PN∥AB；

（2）求NC與平面BDN所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．

求證：平面BDEF；

求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩個(gè)排球隊(duì)在采用局勝制排球決賽中相遇，已知每局比賽中甲獲勝的概率是.

（1）求比賽進(jìn)行了局就結(jié)束的概率；

（2）若第局甲勝，兩隊(duì)又繼續(xù)進(jìn)行了局結(jié)束比賽，求的分布列和數(shù)學(xué)期望

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，）

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對(duì)任意，恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)銷售一種水果的經(jīng)驗(yàn)表明，該水果每日的銷售量（單位：千克）與銷售價(jià)格（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出該水果52千克.

（1）求的值；

（2）若該水果的成本為5元/千克，試確定銷售價(jià)格的值，使商場(chǎng)每日銷售該水果所獲得的利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn)．

（1）若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，證明：平面平面；

（2）若為線段，，上的動(dòng)點(diǎn)（不含，），，三棱錐的體積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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