Question

【題目】已知函數(shù) 是偶函數(shù)，g（x）=t2x+4，
（1）求a的值；
（2）當t=﹣2時，求f（x）＜g（x）的解集；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）是偶函數(shù)，得f（x）=f（﹣x），即 ，

化簡得22ax=4x，故a=1

（2）解：f（x）＜g（x）即 ，亦即34x﹣42x+1＜0，

所以 ，即 ，

所以不等式f（x）＜g（x）的解集為

（3）解：因為函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，

所以f（x）＞g（x），即 ，得 ，

∵ ，∴t＜﹣3；

故實數(shù)t的取值范圍為：t＜﹣3

【解析】（1）由偶函數(shù)的定義知f（x）=f（﹣x），化簡即可求得a值；（2）對f（x）＜g（x）進行等價變形可化為關于2x的二次不等式，解得2x的范圍，進而可得x的范圍；（3）函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，等價于f（x）＞g（x）恒成立，分離出t后轉化為求函數(shù)的最值解決；
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調性的性質和復合函數(shù)單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；復合函數(shù)f[g(x)]的單調性與構成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”才能正確解答此題．