Question

2．已知點(diǎn)M（3，0），兩直線l₁：2x-y-2=0與l₂：x+y+3=0．
（1）過點(diǎn)M的直線l與l₁，l₂相交于P，Q兩點(diǎn)，且線段PQ恰好被M所平分，求直線l的方程；
（2）求l₁關(guān)于l₂對稱的直線l₃的方程．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)M的直線l與l₁，l₂相交于P，Q兩點(diǎn)，且線段PQ恰好被M所平分，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），與與l₁，l₂相交于P，Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），解得k，可得直線l的方程；
（2）直線l₁關(guān)于l₂對稱的直線l₃過直線l₁和直線l₂的交點(diǎn)，直線l₃與l₁，l₂的夾角相等，利用夾角公式求出斜率k，點(diǎn)斜式可得直線l₃的方程．

解答 解：（1）由題意：直線l與直線l₁和直線l₂的交點(diǎn)，直線l₁：2x-y-2=0與l₂：x+y+3=0，
設(shè)：直線l的方程為y=k（x-3），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$：解得：x=$\frac{3k-3}{1+k}$．
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{x+y+3=0}\\{y=k（x-3）}\end{array}\right.$解得：x=$\frac{3k-3}{1+k}$，
根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：$\frac{3k-3}{1+k}$+$\frac{3k-3}{1+k}$=6，
解得：k=8，
所以：直線l的方程為：8x-y-24=0．
直線l₁關(guān)于l₂對稱的直線l₃過直線l₁和直線l₂的交點(diǎn)，直線l₁和直線l₂聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2=0}\\{x+y+3=0}\end{array}\right.$，
解得：交點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{8}{3}$），
設(shè)直線l₃的方程的斜率為k，
根據(jù)直線l₃與l₁，l₂的到角相等可得：$3=\frac{1+k}{1-k}$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，
直線l₃過交點(diǎn)（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{8}{3}$），
由點(diǎn)斜式可得：$y+\frac{8}{3}=\frac{1}{2}（x+\frac{1}{3}）$，
所以直線l₃的方程為：x-2y-5=0．

點(diǎn)評 本題考查了點(diǎn)與直線的對稱關(guān)系和直線與直線的對稱問題，屬于中檔題．