Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{x}$，且f（x）+f（${\frac{1}{x}}$）=0，其中a，b為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1的切線經(jīng)過點（2，5），求函數(shù)的解析式；
（2）已知0＜a＜1，求證：f（$\frac{a^2}{2}$）＞0；
（3）當(dāng)f（x）存在三個不同的零點時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，令x=1，得到f（1）=0，則切點為（1，0），從而可求出切線的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程組$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{f'（1）=5}\end{array}\right.$，即可求出a，b的值；
（2）將x=$\frac{{a}^{2}}{2}$待入f（x）的解析式，構(gòu)造函數(shù)$g（x）=2lnx+\frac{2}{x}-\frac{x^3}{2}-ln2$，通過求導(dǎo)可知g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，則g（x）＞g（1）=1-ln2＞0，即f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0；
（3）求導(dǎo)，f'（x）=$\frac{-a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，易知a≤0，或a≥$\frac{1}{2}$時，f（x）至多一個零點，不符題意；當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，通過零點存在定理可知，此時f（x）存在三個零點，滿足條件，故a的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}）$．

解答 解：（1）在$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）=0$中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=-a+b=0，∴a=b，
∵${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{x^2}$，∴f'（1）=1-a-b=1-2a，
∵f（x）的圖象在x=1的切線經(jīng)過點（1，0），（2，5），∴k=$\frac{5-0}{2-1}=5$，
∴1-2a=5，得a=-2，
∴$f（x）=lnx+2x-\frac{2}{x}$；
（2）$f（\frac{a^2}{2}）=ln\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{2}{a}=2lna+\frac{2}{a}-\frac{a^3}{2}-ln2$
令$g（x）=2lnx+\frac{2}{x}-\frac{x^3}{2}-ln2$，
則${g^'}（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{{3{x^2}}}{2}=\frac{{-3{x^4}+4（{x-1}）}}{{2{x^2}}}$
∴x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴x∈（0，1）時，$g（x）＞g（1）=2-\frac{1}{2}-ln2＞1-ln2＞0$
故0＜a＜1時，f（$\frac{a^2}{2}$）＞0；
（3）${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a（1+\frac{1}{x^2}）=\frac{{-a{x^2}+x-a}}{x^2}$，
①當(dāng)a≤0時，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）遞增，∴f（x）至多一個零點，不符題意；    
②當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）遞減，∴f（x）至多一個零點，不符題意；
③當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時，令f′（x）=0，解得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-4{a^2}}}}{2a}＜1$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-4{a^2}}}}{2a}＞1$，
此時，f（x）在（0，x₁）上遞減，在（x₁，x₂）上遞增，在（x₂，+∞）上遞減，
∵x₁＜1＜x₂，∴f（x₁）＜f（1）＜f（x₂），即f（x₁）＜0，f（x₂）＞0，
∵$f（\frac{a^2}{2}）＞0$，∴$?{x_0}∈（\frac{a^2}{2}，{x_1}）$，使得f（x₀）=0，
又∵$f（\frac{1}{x_0}）=-f（{x_0}）=0，f（1）=0$，
∴f（x）恰有三個不同的零點：$x{\;}_0，1，\frac{1}{x_0}$
綜上所述，a的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點的方法，著重考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難度較大的題目．