Question

5．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點(diǎn)E是BC 邊的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體
（Ⅰ）求證：AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）若AD=1，AB=$\sqrt{2}$，求點(diǎn)B到平面ADE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得DC⊥平面ABD．進(jìn)一步得到DC⊥AB．又AD⊥AB，由線(xiàn)面垂直的判定可得AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）求解直角三角形可得$BD=\sqrt{3}$．再由△ABD～△BDC，利用比例關(guān)系求得$CD=\sqrt{6}$．進(jìn)一步得到BC=3．可得AE，DE的值，求得三角形ADE的面積，設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d，然后利用等積法求B到平面ADE的距離．

解答 （Ⅰ） 證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
又BD⊥DC，∴DC⊥平面ABD．
∵AB?平面ABD，∴DC⊥AB．
又AD⊥AB，DC∩AD=D，
∴AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）解：∵AB=$\sqrt{2}$，AD=1，∴$BD=\sqrt{3}$．
依題意△ABD～△BDC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{CD}{\sqrt{3}}$．∴$CD=\sqrt{6}$．
故BC=3．
由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E為BC的中點(diǎn)，
得$AE=\frac{BC}{2}=\frac{3}{2}$．
同理$DE=\frac{BC}{2}=\frac{3}{2}$．
∴S_△DAE=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵DC⊥平面ABD，∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}$S_△ABD•CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d，
則$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•d$=V_B-ADE=V_A-BDE=$\frac{1}{2}{V}_{A-BCD}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴$d=\frac{\sqrt{6}}{2}$，即點(diǎn)B到平面ADE的距離為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．