【題目】如圖,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M、N分別為AB、PC的中點,且.
(1)求證:平面PAD;
(2)求證:面PCD;
(3)若,求二面角的正弦值.
【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析;(3).
【解析】
(1)取CD中點,連結(jié)M、N,然后可證明平面平面PAD,進而可得平面PAD;(2)建立空間直角坐標系,利用空間向量可得證得,進而得到結(jié)論成立;(3)結(jié)合題意求出平面MPC和平面MCD的法向量,先求出兩向量的夾角的余弦值,然后可得所求二面角的正弦值.
證明:(1)取CD中點,連結(jié)M、N,
∵N為PC的中點,
∴,
又 平面,平面,
∴平面.
同理平面.
又,
∴平面平面PAD.
∵平面MNO,
∴平面PAD.
(2)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,如下圖所示.
設(shè),,
則0,,0,,b,,,b,,
∴,b,,b,,
∴,,
∴,.
又,
∴平面PCD.
(3)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.
設(shè),則,
則0,,0,,1,,1,,
∴0,,1,,
設(shè)平面MPC的法向量y,,
則,取,得.
由題意得平面MCD的法向量0,.
設(shè)二面角的平面角為,
則,
∴,
∴二面角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓的離心率是,過點的動直線與橢圓相交于兩點,當(dāng)直線與軸平行時,直線被橢圓截得的線段長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在軸上是否存在異于點的定點,使得直線變化時,總有?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x﹣3|
(1)求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若{x|f(x)≤t2﹣3t}∩{x|﹣2≤x≤0}≠.求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,根據(jù)預(yù)測可知,進入21世紀以來,該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長.記2009年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x) 萬件之間的關(guān)系如下表所示:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4.00 | 5.58 | 7.00 | 8.44 |
若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=logx+a.
(1)找出你認為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后選取其中你認為最適合的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式;
(2)因遭受某國對該產(chǎn)品進行反傾銷的影響,2015年的年產(chǎn)量比預(yù)計減少30%,試根據(jù)所建立的函數(shù)模型,確定2015年的年產(chǎn)量.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,離心率為的橢圓的左頂點為,過原點的直線(與坐標軸不重合)與橢圓交于兩點,直線分別與軸交于, 兩點.若直線斜率為 時, .
(1)求橢圓的標準方程;
(2)試問以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(與直線的斜率無關(guān))?請證明你的結(jié)論.
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【題目】已知函數(shù)f (x)的定義域是,對任意
當(dāng)時,.關(guān)于函數(shù)給出下列四個命題:
①函數(shù)是奇函數(shù);
②函數(shù)是周期函數(shù);
③函數(shù)的全部零點為;
④當(dāng)時,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有三個公共點.
其中真命題的個數(shù)為 .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】已知F1 , F2分別是橢圓 的左、右焦點F1 , F2關(guān)于直線x+y﹣2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當(dāng)ab最大時,求直線l的方程.
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【題目】四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2 ,SB=SC= .
(1)設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l,求證:l∥AB;
(2)求證:SA⊥BC;
(3)求直線SD與面SAB所成角的正弦值.
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