Question

在橢圓

x2

4

+

y2

7

=1上求一點(diǎn)P，使其到直線l：3x-2y-16=0的距離最短．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由P在橢圓7x²+4y²=28上，求點(diǎn)P到直線3x-2y-16=0的距離的最小值，對(duì)稱平行線方程，利用直線與橢圓相切由此能求出點(diǎn)P到直線3x-2y-16=0的距離的最小值．并且求出切點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：橢圓

x2

4

+

y2

7

=1化為7x²+4y²=28，P在橢圓7x²+4y²=28上，
點(diǎn)P到直線3x-2y-16=0的距離的最小值，轉(zhuǎn)化為平行線與橢圓相切時(shí)，平行線之間的距離，設(shè)平行線方程為：3x-2y+m=0，與橢圓聯(lián)立可得：16x²+6mx-28+m²=0，平行線與橢圓相切，所以△=0，
可得36m²-4×16（m²-28）=0．
，解得m=±8，m=-8時(shí)，滿足題意．此時(shí)P的橫坐標(biāo)x=

3

2

，縱坐標(biāo)為：y=-

7

4

．
所求P的坐標(biāo)(

3

2

，-

7

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．