解::(1)
(或
)(V>0.5)
(2)
當(dāng)且僅當(dāng)
,即V=4立方米時(shí)不等式取得等號(hào)
所以,博物館支付總費(fèi)用的最小值為7500元.
(3)(理)解法1:由題意得不等式:
當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時(shí),
,代入整理得:4S
2-51S+144≤0,解得
;
當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時(shí),V=2S,代入整理得:4S
2-17S+16≤0,解得
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21,所以,底面正方形的面積最小可取1.4平方米
解法2.解方程
,即V
2-8.5V+16=0得兩個(gè)根為V
1=2.814,V
2=5.686
由于函數(shù)
在(0,4]上遞減,在[4,+∞)上遞增,所以當(dāng)V<V
1時(shí),總費(fèi)用超過8000元,所以V取得最小值V
1由于保護(hù)罩的高固定為2米,
所以對(duì)于相等體積的正四棱錐與正四棱柱,正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的
.
所以當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱時(shí),保護(hù)罩底面積最小,
m
2 又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21,1.21<1.4,
所以,底面正方形的面積最小可取1.4平方米
解法3.解
得
又底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21,當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時(shí),
;
當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時(shí),V=2S≥2.42.
所以,保護(hù)罩容積可取最小V=2.8立方米,當(dāng)形狀為棱柱時(shí)底面正方形的面積最小,為1.4平方米
分析:(1)由需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成,當(dāng)容積為2立方米時(shí),支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為8千元,可求比例系數(shù),從而可求支付總費(fèi)用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)由(1)得:
利用基本不等式可求出當(dāng)且僅當(dāng)
,博物館支付總費(fèi)用的最小值;
(3)法1:由題意得不等式:
,分別求出當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時(shí),當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時(shí),最后根據(jù)底面正方形面積最小不得少于1.1×1.1=1.21,得出底面正方形的面積最小可取1.4平方米;
法2:先解方程
,利用函數(shù)
的單調(diào)性求得底面正方形的面積最小可取1.4平方米;
法3:利用基本不等式可求最值,注意等號(hào)成立的條件.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)模型的建立及最值問題的研究,應(yīng)注意基本不等式成立的條件.