Question

9．如圖在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC，且$∠ASB=∠BSC=∠CSA=\frac{π}{2}$，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)．則異面直線SM與BN所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，直線SM與面SAC所成角大小為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 連接MC，取MC中點(diǎn)為Q，連接NQ，BQ，則NQ和SM平行，∠QNB（或其補(bǔ)角）即為SM和BN所成的角，利用余弦定理可得結(jié)論；由題意，∠ASM為直線SM與面SAC所成角，即可求解．

解答 解：連接MC，取MC中點(diǎn)為Q，連接NQ，BQ
則NQ和SM平行，∠QNB（或其補(bǔ)角）即為SM和BN所成的角．
設(shè)SA=SB=SC=a，則AB=BC=CA=$\sqrt{2}$a
因?yàn)?∠ASB=∠BSC=∠CSA=\frac{π}{2}$，△ABC是正三角形，M、N、Q是中點(diǎn)
所以：NQ=$\frac{1}{2}$SM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，MC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，QB=$\frac{\sqrt{14}}{4}$a，NB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a
∴cos∠QNB=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴異面直線SM與BN所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由題意，∠ASM為直線SM與面SAC所成角，∵SA=SB，∠ASB=$\frac{π}{2}$，
∴∠ASM=$\frac{π}{4}$
故答案為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線線角、線面角，考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確作出線線角、線面角是關(guān)鍵．