Question

若sin2α=

5

5

，sin（β-α）=

10

10

，且α∈[

π

4

，π]，β∈[π，

3π

2

]，則α+β的值是（　�。�

• A、

  7π

  4

• B、

  9π

  4

• C、

  5π

  4

  或

  7π

  4

• D、

  5π

  4

  或

  9π

  4

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：依題意，可求得α∈[

π

4

，

π

2

]，2α∈[

π

2

，π]，進一步可知β-α∈[

π

2

，π]，于是可求得cos（β-α）與cos2α的值，再利用兩角和的余弦及余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答： 解：∵α∈[

π

4

，π]，β∈[π，

3π

2

]，
∴2α∈[

π

2

，2π]，
又sin2α=

5

5

＞0，
∴2α∈[

π

2

，π]，cos2α=-

1-sin22α

=-

2 5

5

；
又sin（β-α）=

10

10

，β-α∈[

π

2

，π]，
∴cos（β-α）=-

1-sin2(β-α)

=-

3 10

10

，
∴cos（α+β）=cos[2α+（β-α）]=cos2αcos（β-α）-sin2αsin（β-α）=-

2 5

5

×（-

3 10

10

）-

5

5

×

10

10

=

2

2

．
又α∈[

π

4

，

π

2

]，β∈[π，

3π

2

]，
∴（α+β）∈[

5π

4

，2π]，
∴α+β=

7π

4

，
故選：A．

點評：本題考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，著重考查兩角和的余弦與二倍角的正弦，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，屬于難題．