Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-lnx+2e^x，當(dāng)g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0求出函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，求出函數(shù)的減區(qū)間；
（Ⅱ）由2e^x-ax=0，令F（x）=$\frac{a}{2}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是（0，+∞），
∵f（x）=lnx-ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)為0解得x=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{a}$時(shí)，導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)x＜$\frac{1}{a}$時(shí)，導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-lnx+2e^x=2e^x-ax=0
令F（x）=$\frac{a}{2}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則F′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$=0 可得x=1，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減；
F（x）在x=1處取得最小值 F（1）=e，
 F（$\frac{1}{2}$）=2$\sqrt{e}$，F(xiàn)（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$，
∴a的取值范圍是[2e，e²]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，本題屬于第一種類型．本題的第二小問(wèn)是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，本題中由于參數(shù)的存在，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不定，故需要對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論．