Question

16．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線與拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+2$相切，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用相切的條件：判別式為0，可得b=2a，再由a，b，c的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
漸近線與拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+2$相切，
可得$\frac{1}{2}$x²±$\frac{a}$x+2=0，
由△=（$\frac{a}$）²-4×$\frac{1}{2}$×2=0，
可得b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程和離心率，同時(shí)考查直線和拋物線相切的條件：判別式為0，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．