【題目】已知橢圓的離心率為,、是橢圓的左、右焦點,過作直線交橢圓于兩點,若的周長為8.

(1)求橢圓方程;

(2)若直線的斜率不為0,且它的中垂線與軸交于,求的縱坐標(biāo)的范圍;

(3)是否在軸上存在點,使得軸平分?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2);(3)存在,.

【解析】

試題分析: (1)由題意列出關(guān)于的方程組,求出值即可;(2)設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立后根據(jù)韋達(dá)定理將中點用斜率表示,進(jìn)而中垂線用表示,最后縱坐標(biāo)用表示再利用基本不等式求出最值;(3)假設(shè)存在,利用,列出關(guān)于的等式,該等式對任意都成立可求得符合條件的.

試題解析:(1)依題意得,解得,所以方程為.

(2)當(dāng)不存在時,為原點,,當(dāng)存在時,則,可得,則

設(shè)弦的中點為,則,,則,令,有,

綜上所述,的縱坐標(biāo)的范圍為.

(3)存在.假設(shè)存在,由軸平分可得,,,有,

式代入有,解得.

考點: 1、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本不等式求最值;2、解析幾何中的存在性問題.

【名師點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本不等式求最值以及解析幾何中的存在性問題,屬于難題.解決存在性問題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確則存在,若結(jié)論不正確則不存在(或者方程有解就存在,沒解就不存在),注意:當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時要分類討論;當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時,先假設(shè)成立,再推出條件;當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法題很難時采取另外的途徑.

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