Question

1．如圖，已知A，B，C，D四點共圓，BA，DC的延長線交于點M，CA，DB的延長線交于點F，連接FM，且FM⊥MD．過點B作FD的垂線，交FM于點E
（Ⅰ）證明：△FAB∽△FDC
（Ⅱ）證明：MA•MB=ME•MF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用：A，B，C，D四點共圓，可得∠FBA=∠FCD，結(jié)合公共角，即可證明△FAB∽△FDC；
（Ⅱ）證明：F，E，A，B四點共圓，利用割線定理證明MA•MB=ME•MF．

解答 證明：（Ⅰ）∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠FBA=∠FCD，
∵∠AFB=∠DFC，
∴△FAB∽△FDC
（Ⅱ）如圖，在△FBE，△FMD中，∠FBE=∠FMD=90°，∠BFE=∠MFD，
由三角形內(nèi)角和定理，可得∠BEF=∠MDF，
∵ABDC為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠MDF=∠BAF，
∴∠BEF=∠BAF，
∴F，E，A，B四點共圓，
∴MA•MB=ME•MF．

點評 本題考查三角形相似的判定，考查四點共圓、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查割線定理，屬于中檔題．