Question

16．已知函數(shù)$f（x）=a\sqrt{x}-\frac{x^2}{e^x}（{x＞0}）$，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），設(shè)$t=\frac{x_2}{x_1}$，證明：x₁+x₂隨著t的增大而增大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=0，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)令f'（x）=0，求出極值點(diǎn)，判斷單調(diào)性，然后求解即可．
（Ⅱ）令$f（x）=a\sqrt{x}-\frac{x^2}{e^x}=0$，得到${x^{\frac{3}{2}}}=a{e^x}$，通過(guò)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）推出${x_2}-{x_1}=\frac{3}{2}ln{x_2}-\frac{3}{2}ln{x_1}=\frac{3}{2}ln\frac{x_2}{x_1}$．設(shè)$\frac{x_2}{x_1}=t$，則t＞1，且$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=t{x_1}\\{x_2}-{x_1}=\frac{3}{2}lnt\end{array}\right.$解得x₁，x₂，${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}\frac{{（{t+1}）lnt}}{t-1}$．構(gòu)造函數(shù)$h（x）=\frac{{（{x+1}）lnx}}{x-1}$，x∈（1，+∞），求出導(dǎo)函數(shù)，然后再構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性，即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，$f（x）=-\frac{x^2}{e^x}（x＞0）$，$f'（x）=\frac{{-2x•{e^x}-（-{x^2}）•{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=\frac{x（x-2）}{e^x}$
令f'（x）=0，則x=2…（2分）
則x∈（0，2），f'（x）＜0，y=f（x）單調(diào)遞減x∈（2，+∞），f'（x）＞0，y=f（x）單調(diào)遞增
所以x=2是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)．…（4分）
（Ⅱ）令$f（x）=a\sqrt{x}-\frac{x^2}{e^x}=0$，則${x^{\frac{3}{2}}}=a{e^x}$
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）
所以${x}^{\frac{3}{2}}=a{e}^{{x}_{1}}$，${x}^{\frac{3}{2}}=a{e}^{{x}_{2}}$，可得$\frac{3}{2}ln{x_1}=lna+{x_1}$，$\frac{3}{2}ln{x_2}=lna+{x_2}$．
故${x_2}-{x_1}=\frac{3}{2}ln{x_2}-\frac{3}{2}ln{x_1}=\frac{3}{2}ln\frac{x_2}{x_1}$．…（6分）
設(shè)$\frac{x_2}{x_1}=t$，則t＞1，且$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=t{x_1}\\{x_2}-{x_1}=\frac{3}{2}lnt\end{array}\right.$解得${x_1}=\frac{{\frac{3}{2}lnt}}{t-1}$，${x_2}=\frac{{\frac{3}{2}tlnt}}{t-1}$．
所以：${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}\frac{{（{t+1}）lnt}}{t-1}$．①…（8分）
令$h（x）=\frac{{（{x+1}）lnx}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
則$h'（x）=\frac{{-2lnx+x-\frac{1}{x}}}{{{{（{x-1}）}^2}}}$．…（10分）
令$u（x）=-2lnx+x-\frac{1}{x}$，得$u'（x）={（{\frac{x-1}{x}}）^2}$．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，u'（x）＞0．因此，u（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故對(duì)于任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，
由此可得h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因此，由①可得x₁+x₂隨著t的增大而增大．…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造法的應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)的判斷，最值的求法，考查計(jì)算能力分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．