Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．

（1）證明AB⊥A1C；
（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，

因為CA=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，

所以△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB，

又因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，

又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C；

（2）解：由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，

所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．

以O(shè)為坐標原點， 的方向為x軸的正向，| |為單位長，建立如圖所示的坐標系，

可得A（1，0，0），A1（0， ，0），C（0，0， ），B（﹣1，0，0），

則 =（1，0， ）， =（﹣1， ，0）， =（0，﹣ ， ），

設(shè) =（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則 ，即 ，

可取y=1，可得 =（ ，1，﹣1），故cos＜ ， ＞= =- ，

又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，

故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為： ．

【解析】（1）取AB的中點O，連接OC，OA1 ， A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進而可得AB⊥A1C；（2）易證OA，OA1 ， OC兩兩垂直以O(shè)為坐標原點， 的方向為x軸的正向，| |為單位長，建立坐標系，可得 ， ， 的坐標，設(shè) =（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則 ，可解得 =（ ，1，﹣1），可求|cos＜ ， ＞|，即為所求正弦值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定，需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．