Question

數列{a_n}首項a₁=1，前n項和S_n與a_n之間滿足an=

2 S 2 n

2Sn-1

(n≥2)．
（1）求證：數列{

1

Sn

}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設存在正數k，使(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)≥k

2n+1

對一切n∈N^*都成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由數列的性質對其進行變形整理出可以判斷數列為等差數列的形式即可．
（2）由（1）先求出S_n，進而可求求數列{a_n}的通項公式；
（3）先構造函數F（n）判斷其單調性，然后再由F（n）在n∈N^*上遞增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k，即可得到結論．

解答：（1）證明：∵n≥2時，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=

2 S 2 n

2Sn-1

(n≥2)，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），（5分）
∴數列{

1

Sn

|是以

1

S1

=1為首項，以2為公差的等差數列．（6分）
（2）解：由（1）知

1

Sn

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-

2

(2n-1)(2n-3)

∵a₁=S₁=1，
∴a_n=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．（10分）
（3）設F（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，
則

F(n+1)

F(n)

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1（12分）
∴F（n）在n∈N^*上遞增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=

2 3

3

，
∴0＜k≤

2 3

3

，k_max=

2 3

3

．（14分）

點評：本題考查等差數列通項與前n項和關系以及數列與不等式相結合的有關問題，（3）中的轉化為函數來判斷單調性都需要較高的知識組合能力及較高的觀察能力．