Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（-sinα，cosα），$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
（1）求函數(shù)k=f（t）的表達(dá)式；
（2）若t∈[0，4]，4f（t）-λ（t-1）+6＞0恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算寫出$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，求出k關(guān)于t的函數(shù)k=f（t）的解析式；
（2）問題化為t∈[0，4]時t²-λt+3+λ＞0恒成立，設(shè)g（t）=t²-λt+3+λ，求出g（t）在t∈[0，4]內(nèi)最小值，
使最小值大于0，從而求出λ的取值范圍．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（-sinα，cosα），
$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=4cos²α+4sin²α=4，${\overrightarrow}^{2}$=cos²α+sin²α=1，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-2cosαsinα+2sinαcosα=0
∴$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+（t²-3）${\overrightarrow}^{2}$+（1+3k-kt²）$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=-4k+（t²-3）=0，
∴k=f（t）=$\frac{1}{4}$（t²-3）；
（2）t∈[0，4]時，4f（t）-λ（t-1）+6＞0恒成立，
即（t²-3）-λ（t-1）+6＞0恒成立，
即t²-λt+3+λ＞0恒成立；
設(shè)g（t）=t²-λt+3+λ，它的對稱軸為t=$\frac{λ}{2}$；
則λ＜0時，g（t）在t∈[0，4]內(nèi)單調(diào)遞增，
g（t）的最小值是g（0）=3+λ＞0，
解得λ＞-3，∴取-3＜λ＜0；
0≤λ≤8時，g（t）在t∈[0，4]內(nèi)先減后增，
g（t）的最小值是g（$\frac{λ}{2}$）=-$\frac{{λ}^{2}}{4}$+3+λ＞0，
解得-2＜λ＜6，∴取0≤λ＜6；
λ＞8時，g（t）在t∈[0，4]內(nèi)是減函數(shù)，
g（t）的最小值是g（4）=-4λ+λ+19＞0，
解得λ＜$\frac{19}{3}$，λ值不存在；
綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是-3＜λ＜6．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的運(yùn)算，涉及平面向量的數(shù)量積和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是綜合題．