Question

如圖為某倉庫一側(cè)墻面的示意圖，其下部是矩形ABCD，上部是圓AB，該圓弧所在的圓心為O，為了調(diào)節(jié)倉庫內(nèi)的濕度和溫度，現(xiàn)要在墻面上開一個(gè)矩形的通風(fēng)窗EFGH（其中E，F(xiàn)在圓弧AB上，G，H在弦AB上）．過O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圓弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（單位：m），記通風(fēng)窗EFGH的面積為S（單位：m²）
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：
（i）設(shè)∠POF=θ（rad），將S表示成θ的函數(shù)；
（ii）設(shè)MN=x（m），將S表示成x的函數(shù)；
（2）試問通風(fēng)窗的高度MN為多少時(shí)？通風(fēng)窗EFGH的面積S最大？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．
（i）在Rt△ONF中與矩形EFGH中表示出邊長(zhǎng)，從而由S=EF×FG寫出面積公式S=10sinθ（20cosθ-7），注意角θ的取值范圍；
（ii）在Rt△ONF中與矩形EFGH中利用勾股定理等表示出邊長(zhǎng)，從而寫出S=EF×FG=x

351-28x-4x2

，注意x的取值范圍；
（2）方法一：選擇（i）中的函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而示函數(shù)的最大值及最大值點(diǎn)，再代入求NM的長(zhǎng)度即可；
方法二：選擇（ii）中的函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而示函數(shù)的最大值及最大值點(diǎn)即可．

解答： 解：（1）由題意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．
（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．
在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，F(xiàn)G=ON-OM=10cosθ-3.5，
故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ-3.5）=10sinθ（20cosθ-7）．
即所求函數(shù)關(guān)系是S=10sinθ（20cosθ-7），0＜θ＜θ₀，其中cosθ₀=

7

20

．
（ii）因?yàn)镸N=x，OM=3.5，所以O(shè)N=x+3.5．
在Rt△ONF中，NF=

OF2-ON2

=

100-(x+3.5)2

=

351 4 -7x-x2

．
在矩形EFGH中，EF=2NF=

351-28x-4x2

，F(xiàn)G=MN=x，
故S=EF×FG=x

351-28x-4x2

．
即所求函數(shù)關(guān)系是S=x

351-28x-4x2

，（0＜x＜6.5）．   
（2）方法一：選擇（i）中的函數(shù)模型：
令f（θ）=sinθ（20cosθ-7），
則f′（θ）=cosθ（20cosθ-7）+sinθ（-20sinθ）=40cos²θ-7cosθ-20．
由f′（θ）=40cos²θ-7cosθ-20=0，解得cosθ=

4

5

，或cosθ=-

5

8

．
因?yàn)?＜θ＜θ₀，所以cosθ＞cosθ₀，所以cosθ=

4

5

．
設(shè)cosα=

4

5

，且α為銳角，
則當(dāng)θ∈（0，α）時(shí)，f′（θ）＞0，f（θ）是增函數(shù)；當(dāng)θ∈（α，θ₀）時(shí)，f′（θ）＜0，f（θ）是減函數(shù)，
所以當(dāng)θ=α，即cosθ=

4

5

時(shí)，f（θ）取到最大值，此時(shí)S有最大值．
即MN=10cosθ-3.5=4.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大．
方法二：選擇（ii）中的函數(shù)模型：
因?yàn)镾=

x2(351-28x-4x2)

，
令f（x）=x²（351-28x-4x²），
則f′（x）=-2x（2x-9）（4x+39），
因?yàn)楫?dāng)0＜x＜

9

2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)

9

2

＜x＜

13

2

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=

9

2

時(shí)，f（x）取到最大值，此時(shí)S有最大值．
即MN=x=4.5m時(shí)，通風(fēng)窗的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．