Question

13．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4，圓M：（x+1）²+y²=r²（0＜r＜1）．過橢圓C的上頂點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B，D兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)A），直線AB，AD的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)r變化時(shí)，①求k₁•k₂的值；②試問直線BD是否過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出a，b即可求解橢圓C的方程．
（2）AB：y=k₁x+1，則有$\frac{{|{{k_1}-1}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=r$，化簡得$（{1-{r^2}}）k_1^2-2{k_1}+1-{r^2}=0$，直線AD：y=k₂x+1，同理有$（{1-{r^2}}）k_2^2-2{k_2}+1-{r^2}=0$，推出k₁，k₂是方程（1-r²）k²-2k+1-r²=0的兩實(shí)根，故k₁•k₂=1．考慮到r→1時(shí)，D是橢圓的下頂點(diǎn)，B趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故BD若過定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在y軸上．聯(lián)立直線與橢圓方程，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線BD的方程，推出直線BD過定點(diǎn)．

解答 解：（1）由題設(shè)知，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b=4$，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=1．
故所求橢圓C的方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）AB：y=k₁x+1，則有$\frac{{|{{k_1}-1}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=r$，化簡得$（{1-{r^2}}）k_1^2-2{k_1}+1-{r^2}=0$，
對(duì)于直線AD：y=k₂x+1，同理有$（{1-{r^2}}）k_2^2-2{k_2}+1-{r^2}=0$，
于是k₁，k₂是方程（1-r²）k²-2k+1-r²=0的兩實(shí)根，故k₁•k₂=1．
考慮到r→1時(shí)，D是橢圓的下頂點(diǎn)，B趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故BD若過定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在y軸上．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}x+1}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得$（{4k_1^2+1}）{x^2}+8{k_1}x=0$，于是有$B（{\frac{{-8{k_1}}}{4k_1^2+1}，\frac{-4k_1^2+1}{4k_1^2+1}}），D（{\frac{{-8{k_2}}}{4k_2^2+1}，\frac{-4k_2^2+1}{4k_2^2+1}}）$．
直線BD的斜率為${k_{BD}}=\frac{{{k_1}+{k_2}}}{-3}$，
直線BD的方程為$y-\frac{-4k_1^2+1}{4k_1^2+1}=\frac{{{k_1}+{k_2}}}{-3}（{x-\frac{{-8{k_1}}}{4k_1^2+1}}）$，
令x=0，得$y=\frac{-4k_1^2+1}{4k_1^2+1}+\frac{{{k_1}+{k_2}}}{-3}•\frac{{8{k_1}}}{4k_1^2+1}=\frac{20k_1^2+5}{{-3（{4k_1^2+1}）}}=-\frac{5}{3}$，
故直線BD過定點(diǎn)$（{0，-\frac{5}{3}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線恒過定點(diǎn)問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．