Question

5．已知點$P（\sqrt{3}，1）$，Q（cosx，sinx），O為坐標原點，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{QP}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值及此時x的值；
（2）若A為△ABC的內(nèi)角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，然后求解最值．
（2）利用函數(shù)的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范圍，然后利用基本不等式求解最值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OP}=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow{QP}=（\sqrt{3}-cosx，1-sinx）$，
∴$f（x）=3-\sqrt{3}cosx+1-sinx=4-2sin（x+\frac{π}{3}）$，
∴當$x=\frac{π}{6}+2kπ（k∈Z）$時，f（x）取得最小值2．
（2）∵f（A）=4，∴$A=\frac{2π}{3}$，
又∵BC=3，∴${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{2π}{3}$，
∴9=（b+c）²-bc．$bc≤\frac{{{{（b+c）}^2}}}{4}$，
∴$\frac{{3{{（b+c）}^2}}}{4}≤9$，
∴$b+c≤2\sqrt{3}$，當且僅當b=c取等號，
∴三角形周長最大值為$3+2\sqrt{3}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值，基本不等式以及余弦定理的應用，考查計算能力．