Question

17．若正數x，y滿足x+y=1，則xy+$\frac{1}{xy}$的取值范圍$[\frac{17}{4}，+∞）$．

Answer 1

分析 正數x，y滿足x+y=1，可得$0＜xy≤\frac{1}{4}$，令xy=t∈$（0，\frac{1}{4}]$，則xy+$\frac{1}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$=f（t），利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答 解：∵正數x，y滿足x+y=1，∴1≥2$\sqrt{xy}$，解得$0＜xy≤\frac{1}{4}$，當且僅當x=y=$\frac{1}{2}$時取等號．
令xy=t∈$（0，\frac{1}{4}]$，則xy+$\frac{1}{xy}$=t+$\frac{1}{t}$=f（t），
f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，∴函數f（t）在t∈$（0，\frac{1}{4}]$上單調遞減，
∴f（t）≥$f（\frac{1}{4}）$=$\frac{1}{4}$+4=$\frac{17}{4}$．
故答案為：$[\frac{17}{4}，+∞）$．

點評 本題考查了基本不等式的性質、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．