Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱，且當x∈（0，1）時，g（x）=1nx-ax²．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對于區(qū)間（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關于y軸對稱得：f（x）的圖象上任意一點P（x，y）關于y軸對稱的對稱點Q（-x，y）在g（x）的圖象上；然后再利用x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]，則f（x）=g（-x）求出一段解析式，再利用定義域內有0，可得f（0）=0；最后利用其為奇函數(shù)可求x∈（0，1]時對應的解析式，綜合即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先求出f（x）在（0，1]上的導函數(shù)，利用其導函數(shù)求出其在（0，1]上的單調性，進而求出其最大值，只須讓起最大值與1相比即可求出實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）的圖象上任意一點P（x，y）關于y軸對稱的對稱點Q（-x，y）在g（x）的圖象上．
當x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]，則f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax²．（2分）
∵f（x）為[-1，1]上的奇函數(shù)，則f（0）=0．（4分）
當x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax²．（6分）
∴f（x）=（7分）
（2）由（1）知，f'（x）=-+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，則-0⇒a．
此時，a，f（x）在（0，1]上單調遞減，f（x）_min=f（1）=a，
∴f（x）的值域為[a，+∞）與|f（x）|≥1矛盾．（11分）
②當a時，令f'（x）=-⇒x=∈（0，1]，
∴當x∈（0，）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（，1]時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴f（x）_min=f（）=-ln+a=ln2a+．
由|f（x）|≥1，得ln2a+≥1⇒．（15分）
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a．（16分）
點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)解析式的求解及常用方法和奇偶函數(shù)圖象的對稱性，是對函數(shù)知識的綜合考查，屬于中檔題．