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已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若1+
tanA
tanB
=
2c
b
，則
b+c
a
的最大值為
 
．
考點：正弦定理,三角函數的化簡求值
專題：三角函數的圖像與性質,解三角形
分析：利用正弦定理將1+
tanA
tanB
=
2c
b
，轉化為cosA=
1
2
，求得A，再利用余弦定理結合基本不等式即可求得答案．
解答： 解：∵A、B、C為△ABC中的角，角A、B、C所對邊分別為a，b，c，
又1+
tanA
tanB
=
tanB+tanA
tanB
=
sinB
cosB
+
sinA
cosA
sinB
cosB
=
sin(A+B)
cosAcosB
×
cosB
sinB
=
sinC
sinBcosA
=
2c
b
，
由正弦定理得：
sinC
sinBcosA
=
c
bcosA
=
2c
b
，
∴cosA=
1
2
，又A為△ABC中的內角，
∴A=
π
3
；
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA
=b2+c2-2bc×
1
2

≥2bc-bc=bc（當且僅當b=c時取“=”），
∴
bc
a2
的最大值為1．
b+c
a
=
(
b+c
a
)2
=
1+
3bc
a2
≤
4
=2．
故答案為：2．
點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，考查三角函數中的恒等變換應用，考查基本不等式，求得cosA=
1
2
是關鍵，屬于中檔題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求|OR|+|OS|的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，a1=3，a2=1，（an+2-2）（an-2）=2（n∈N*），則該數列前2014項的和為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

首項為正的等比數列{an}中，a4a5=-27，a3+a6=-26，則公比q的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（x-
1
2x
）6的二項展開中常數項的二項式系數為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知四邊形ABCD為菱形，邊長為1，∠BAD=120°，
AE
=
AD
+t
AB
（其中t∈R且0＜t＜1），則當|
AE
|最小時，
|
DE
|
|
EC
|
=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其它10個長方形面積和的
1
5
，且樣本容量為180，則中間一組的頻數為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
與
b
的夾角為120°，且|
a
|=2，|
b
|=1，則|
a
+2
b
|=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）=x3+ax2+3bx（a，b∈R）是奇函數，且極小值為-2，則a-b=
 
．

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同步練習冊答案