Question

8．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為直線l，點(diǎn)A、B在直線l上，點(diǎn)M為拋物線E第一象限上的點(diǎn)，△ABM是邊長(zhǎng)為$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$的等邊三角形，直線MF的傾斜角為60°．
（1）求拋物線E的方程；
（2）如圖，直線m過點(diǎn)F交拋物線E于C、D兩點(diǎn)，Q（2，0），直線CQ、DQ分別交拋物線E于G、H兩點(diǎn)，設(shè)直線CD、GH的斜率分別為k₁、k₂，求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （I）由△ABM是邊長(zhǎng)為$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$的等邊三角形，得|AB|=|AM|=|BMF|=4，
如圖1，作MM′⊥l于點(diǎn)M′，F(xiàn)N⊥MM′于點(diǎn)N，由拋物線的定義知|MF|=|MM′，由|MN|=|MM′|-||NM′|=2，得p=|MN|；
（Ⅱ）設(shè)直線CD的方程為x=my+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$⇒y²-4my-4=0
  得C的坐標(biāo)$（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，k_CQ=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-8}$，寫出直線CQ的方程，得G、H坐標(biāo)即可．

解答 解：（I）∵△ABM是邊長(zhǎng)為$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$的等邊三角形，∴|AB|=|AM|=|BMF|=4，
如圖1，作MM′⊥l于點(diǎn)M′，F(xiàn)N⊥MM′于點(diǎn)N…（1分）
由拋物線的定義知|MF|=|MM′|=4，
∵直線MF的傾斜角為60°，∴∠MFx=∠FMM′=60⁰
所以|MN|=|MM′|-||NM′|=2，所以p=|MN|=2…（3分）
所以拋物線E的方程y²=4x…（4分）


（II）設(shè)直線CD的方程為x=my+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）…（5分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$⇒y²-4my-4=0
△=16m²+16＞0，y₁+y₂=4m，{y₁y₂=-4…（6分）
因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線E：y²=4x上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)$（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，
所以k_CQ=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-8}$，…（7分）
所以直線CQ的方程為：y-0=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-8}（x-2）$，即x=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-8}{4{y}_{1}}y+2$，…（8分）
聯(lián)立把x=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-8}{4{y}_{1}}y+2$代入y²=4x，解得G（$\frac{16}{{{y}_{1}}^{2}}，-\frac{8}{{y}_{1}}$ ） 同理可得，H（$\frac{16}{{{y}_{2}}^{2}}，-\frac{8}{{y}_{2}}$），…（10分）
所以${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
${k}_{2}=\frac{{y}_{H}-{y}_{G}}{{x}_{H}-{x}_{G}}=-\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}=\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$…（11分）
所以$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=2$ …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的方程，及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．