Question

16．現(xiàn)有一半球形原料，若通過切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3π}$．

Answer 1

分析 設(shè)球半徑為R，正方體邊長(zhǎng)為a，求出當(dāng)正方體體積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的球半徑，由此能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)球半徑為R，正方體邊長(zhǎng)為a，
由題意得當(dāng)正方體體積最大時(shí)：
${a^2}+{（\frac{{\sqrt{2}a}}{2}）^2}={R^2}$，∴$R=\frac{{\sqrt{6}a}}{2}$，
∴所得工件體積與原料體積之比的最大值為：
$\frac{a^3}{{\frac{1}{2}×\frac{{4π{R^3}}}{3}}}=\frac{a^3}{{\frac{1}{2}×\frac{4π}{3}×{{（\frac{{\sqrt{6}a}}{2}）}^3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3π}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{3π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查工件體積與原料體積之比的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．